В 1954 Чубаров окончил ремесленное училище № 4 города Златоуста, где обучался гравировке по металлу. Специального художественного образования не получил. В 1959 переехал в Загорск, где познакомился со скульптором Д.Ф. Цаплиным, у которого стал подмастерьем. В 60-е начал делать экспрессивные картины и рисунки, изображающие грязную и пьяную жизнь советского захолустья.
В 1968 переехал в Мытищи. Жил замкнуто, в неофициальной художественной жизни Москвы не участвовал. В конце 80-х — начале 90-х начал делать большие абстрактные композиции. Их нередко сравнивают с живописью Джексона Поллока, но, по меткому замечанию художника Никиты Алексеева, «это сближение крайне поверхностное. Если искать параллели, это, безусловно, Павел Филонов, очень почвенный русский художник».
В 1989–1996 художник, сотрудничая с арт-дилером и галеристом Гари Татинцяном, много выставлялся в Берлине, где создал монументальный цикл абстрактных композиций по мотивам знаков древней культуры Башкирии и раннего буддизма.
Персональные выставки
1987 В сторону к скифам. Объединение «Эрмитаж», Санкт-Петербург
1988 Возвращение. Дом скульптора, Москва
1990 Галерея 4, Берлин, Германия
Галерея Татунц, Берлин, Германия
1996 Галерея Андреас Вайс, Берлин, Германия
1998 Жертвы сталинизма. Музей под открытым небом, Центр имени А. Сахарова, Москва
2003 Галерея Гари Татинцяна, Нью-Йорк, США
2004 Возвращение к беспредметному. Государственный Русский музей, Санкт-Петербург
2007 Галерея Гари Татинцяна, Москва
Тот самый Чубаров. Галерея С’АРТ, Москва
2013 Существованья ткань сквозная. Открытый клуб, Москва
2014 Выставка работ Евгения Чубарова. К 80-летию художника. Государственный Центр современного искусства, Москва
2015 Галерея Гари Татинцяна, Москва
Коллекции
Галерея современного искусства ARTSTORY, Москва
Государственная Третьяковская галерея, Москва
Государственный музей изобразительных искусств имени А. С. Пушкина, Москва
Государственный Русский музей, Санкт-Петербург
Собрание Александра Смузикова, Москва
Собрание Виктора Бондаренко, Москва
Феникс Фонд, Тель-Авив, Израиль
Zimmerli Art Museum, Нью-Джерси, США