Родился в селе Лопатино Пензенской области. На всю жизнь сохранил воспоминания о деревенских мирных пейзажах, окружавших его в раннем детстве. После возвращения отца из заключения в 1945 году семья переехала на Урал. Вместо привычных деревенских пейзажей — закопченный город. Вокруг ряды одноэтажных запущенных бараков, забитых людьми, клопами, тараканами. Где-то затеваются жестокие драки. Позже такие сцены время от времени будут возникать в картинах Слепышева.
Закончив школу, Слепышев учился в Нижнетагильском художественном училище, в группе студентов, пришедших из расформированного за насаждение формализма училища. После армии начинающий мастер сдал экзамены в Художественный институт имени В. И. Сурикова. Когда в институт пришел Александр Дейнека, Слепышев поступил в его мастерскую.
Во время летней практики Слепышев отправился в Новгород, где средневековая фресковая живопись Феофана Грека произвела на него огромное впечатление. После той поездки Слепышев серьёзно увлёкся монументальной живописью.
После разгрома, устроенного Хрущёвым в Манеже, в институте энергично стали восстанавливать старые порядки. Был уволен ненавистный Дейнека. Дипломников его мастерской не допустили к защите. Резко переменилось отношение со стороны педагогов и к Слепышеву: его работы стали подвергаться резкой критике, начались придирки на экзаменах по общественно-политическим дисциплинам.
После окончания института Слепышев познакомился с А. Фонвизиным, Б. Чернышёвым, а также М. Никоновым, чьё творчество поразило художника больше всего. В тот период Слепышев работал в московских средних школах учителем рисования, а также художником-оформителем в Государственной библиотеке имени В. И. Ленина и в реставрационных мастерских Кремля. Устроил там свою первую персональную выставку. Выполнял заказы для павильонов ВДНХ. Благодаря участию в зарубежных выставках стал всемирно известным художником.
Слепышев наконец смог получить мастерскую — в бывшем складском помещении в здании ГУМа на улице Куйбышева. С чудом доставшейся мастерской связан самый плодотворный период жизни художника.
С 1968 года постоянно работает в области станковой графики.
Решающее влияние на его творчество того периода оказали работы Александра Древина, чьи картины конца 20-х и 30-х годов Слепышев видел в московских частных собраниях и на его посмертной персональной выставке в Москве в 1979 году. В 1977 году состоялась персональная выставка работ Слепышева на квартире искусствоведа Леонида Бажанова.
К концу семидесятых от густо заштрихованных работ он всё чаще переходил к рисункам, где почти вся поверхность листа оставалась нетронутой, а изображение было чуть намечено несколькими лёгкими, но энергичными штрихами. К началу 80-х годов появились рисунки, подкрашенные акварелью, и наконец, Слепышев отошёл от перьевого рисунка, обратившись к смешанной технике акварели, гуаши и карандаша. В конце 80-х в творчестве Слепышева зародилась библейская и городская тематика. В 1989 году Слепышев уехал в Германию, затем в Австрию и во Францию, где провёл несколько лет – с 1990 по 1996 год.
Персональные выставки
1967 Выставка гуашей Анатолия Слепышева. Центральный Дом художника, Москва
1970 Анатолий Слепышев. Графика. Центральный Дом архитектора, Москва
1971 Анатолий Слепышев. Эстампная мастерская, Москва
1976 Выставка в квартире искусствоведа Л. Бажанова, Москва
1981 Анатолий Слепышев. Живопись. Дом учёных Научного центра АН СССР, Троицк
1982–1983 Ausstelung Anatoli Slepyschev, Nicolai Grizjuk. Kleine Galerie Hoger Sweda, Берлин, Германия
1983 Анатолий Слепышев. Государственный музей изобразительных искусств имени А. С. Пушкина, Москва
1984 Анатолий Слепышев. Историко-архитектурный и художественный музей Новый Иерусалим, Истра
1987 Анатолий Слепышев. Выставка одной картины. Драматический театр имени М. Н. Ермоловой, Москва
Анатолий Степанович Слепышев. Графика. Центральный Дом художника, Москва
1989 Анатолий Слепышев. Живопись. Дворец АЗЛК, Москва
Анатолий Слепышев. Галерея МАРС, Москва
Анатолий Слепышев. Графика. Галерея Москва, Москва
Анатолий Слепышев. Живопись. Музей Вадима Сидура, Москва
1990 Anatoli Slepyshev. L’exposition. Club Chabin international, Париж, Франция
Anatoli Slepyshev. Galerie de Chaulnes, Париж, Франция
1990–1991 Anatoli Slepychev. Galerie de Chaulnes, Париж, Франция
1991 A. Slepyshev. Galerie des Planches. Париж, Франция
1992 Anatoli Slepyshev. Galerie la France. Париж, Франция
1993–1994 Uexposition des tableaux du celebre peintre russe Anatoli Slepychev. Representation Commerciale de la Federation de Russie en France. Париж, Франция
1994 Анатолий и Анастасия Слепышевы. Живопись. Графика. Скульптура. Музейно-выставочный центр Истоки, Москва
1995 Oeuvres d’Anatoli Slepychev. Moulin Ardousin. Франция
Exposition du peintre Anatoli Slepychev. 60 neufs tableux. Национальное собрание Франции, Париж
1996 Exposition du celebre peintre russe Anatoli Slepychev. Лион, Франция
Anatoli Slepychev a Marseille. Выставка в стенах акционерного общества Марсельской международной ярмарки, Франция
Рисунки Анатолия Слепышева. Representation Commerciale de la Federation de Russie en France. Париж, Франция
Анатолий Спепышев. Галерея Юнион, Москва
1997 Анатолий Слепышев. Живопись, графика. Историко-архитектурный и художественный музей Новый Иерусалим, Истра